统计热力学(黄冈师范学院) 中国大学mooc慕课答案2024版 m60904

第一章 预备知识 第一章 预备知识 测试

1、 第一章 第 1 题 试求在体积V 内、在ε~ε+dε的能量范围内，三维非相对论性自由电子的量子态数D(ε)dε, 式中D(ε)为态密度．解 第 1 题 第1 步 一个三维自由粒子在六维μ空间体积元中可能的微观状态数应为

答案:

2、 第 1 题 第 2 步若将体积求和（积分），可得出体积V中、动量范围为（即在内）的微观状态数为

答案:

3、 第 1 题 第 3 步那么，对于三维非相对论性自由电子，自旋简并度为2，在体积V中，动量的绝对值在（动量壳层）内的微观状态数为

答案:

4、 第 1 题 第 4 步 能量与动量满足关系,由此可得，则

答案:

5、 第 1 题 第 5 步在ε~ε+dε的能量范围内，三维非相对论性自由电子的量子态数

答案:

6、 第一章 第 2 题 粒子运动速度接近光速的情形称为极端相对论性情形. 这时，粒子能量与动量的关系可写为 ε=cp，其中c为光速．试求：在体积V内、在ε ~ ε+dε的能量范围内，三维极端相对论性自由粒子的量子态数D(ε)dε, 式中D(ε)为态密度．解 第 2 题 第1 步 在体积V 内、动量在范围内，三维极端相对论性自由粒子可能的状态数为

答案:

7、 第 2 题 第 2 步根据极端相对论粒子的能量与动量关系ε = cp，可得dε = cdp.由此可得在体积V内，能量在ε ~ ε + dε范围内，三维极端相对论性自由粒子的量子态数为

答案:

8、 第一章 第 3 题 试求在面积内、在ε ~ ε + dε的能量范围内，二维自由粒子的量子态数D(ε)dε, 式中D(ε)为态密度．解 第 3 题 第 1 步 二维自由粒子在四维μ空间体积元中可能的微观状态数为

答案:

9、 第 3 题 第 2 步 则在面积S中，动量绝对值在范围内的量子态（微观状态）数为

答案:

10、 第 3 题 第 3 步根据二维自由粒子的能量动量关系,可得，即

答案:

11、 第 3 题 第 4 步整理可得，在ε ~ ε + dε的能量范围内，二维自由粒子的量子态数

答案:

12、 第一章 第 4 题 已知一维线性谐振子的能量为 试求在ε~ε+dε的能量范围内，一维线性谐振子的量子态数．解第 4 题 第 1 步根据一维线性谐振子的能量动量关系 将其整理后得

答案:

13、 第 4 题 第 2 步容易看到谐振子在二维μ空间的运动方程为椭圆．根据椭圆面积公式，可以得到μ空间能量小于等于ε的面积为

答案:

14、 第 4 题 第 3 步因此，可通过对上式求微分得到在ε ~ ε + dε的能量范围内面积元的面积为

答案:

15、 第 4 题 第 4 步 根据对应关系，每个可能的微观状态在2r 维μ空间中所占体积为，则一维谐振子一个量子态占据μ空间的面积为. 可得在ε ~ ε + dε的能量范围内，一维线性谐振子的量子态数为

答案:

第二章 孤立系 第二章 孤立系 测试

1、 第二章 第 1 题 若一温度为的高温物体向另一温度为的低温物体传递热量，试用熵增加原理证明这一过程（热传导）为不可逆过程．证第 1 题 第 1 步 证明此题的基本思路：引进孤立系，再证明其在热传导过程中熵是增加的，则由熵增加原理可确定该过程是不可逆过程．由于熵增加原理只适用于孤立系，所以我们可设想一温度为的热源与一温度为的物体构成一孤立系．由于热源很大，在热传导过程中，可认为其温度不变，且经历的过程为可逆过程，热源的熵增加为

答案:

2、 第 1 题 第 2 步 由于熵为态函数，可设物体经历一可逆等温过程由初态变为末态，在该过程中物体的熵增加为

答案:

3、 第 1 题 第 3 步与这一热传导过程的熵变相等．于是，孤立系经历热传导过程的熵变为

答案:  因此，根据熵增加原理，可以确定热传导过程为不可逆过程．

4、 第二章 第 4 题 N个频率相同的三维经典谐振子的能量为 试求系统在能量范围内的微观状态数.解第 4 题 第 1 步 直接计算系统在能量范围内的微观状态数比较困难，我们可以先来计算在能量范围H≤E内的微观状态数 作变量代换 ， ，则有

答案:

5、 第 4 题 第 2 步 为了计算K，先计算 一种算法为 由此解得

答案:

6、 第 4 题 第 3 步另一种算法为 由此可得

答案:

7、 第 4 题 第 4 步 比较两种算法可得

答案:

8、 第 4 题 第 5 步则在能量范围内的微观状态数为

答案:

第三章 封闭系 第三章 封闭系 测试(1)

1、 第三章 第 1 题 对正则分布，系统处于s态的概率可表示为, 试给出用表示的熵表达式.解第 1 题 第 1 步 由系统处于s态的概率 （1）可得系统的配分函数Z为

答案:  (2) 

2、 第 1 题 第 2 步显然，满足归一化条件，即 （3）通过配分函数可得正则分布中熵的表达式为

答案:  （4）

3、 第 1 题 第 3 步利用正则分布中内能的表达式

答案:  （5）

4、 第 1 题 第 4 步可将熵改写为

答案:  （6）

5、 第 1 题 第 5 步根据式（1）和其归一化条件式（3）可得

答案:  （7）

6、 第 1 题 第 6 步比较式（6）与式（7），可将正则分布中的熵S表示为

答案:  （8）

7、 第三章 第 2 题 对单原子分子理想气体，试由正则分布验证玻尔兹曼关系.解 第 2 题 第 1 步 对单原子分子理想气体，易得体系配分函数为

答案:  （1）

8、 第 2 题 第 2 步 由（1）计算得到

答案:  (2)

9、 第 2 题 第 3 步以及

答案:  (3)

10、 第 2 题 第 4 步将式（2）和（3）代入熵的热力学公式  (4)并考虑E=(3/2)NkT可得

答案:  (5)

11、 第 2 题 第 5 步由单原子分子理想气体微观状态数

答案:  (6)

12、 第 2 题 第 6 步由以下式子(7)可得.

答案:  (7)

13、 第三章 第 3 题 体积为V的容器内盛有A，B两种组分的单原子分子混合理想气体，其原子数分别为和，温度为T. 试用正则系综理论求此混合理想气体的物态方程、内能和熵.解第 3 题 第 1 步 可以用经典统计理论处理单原子分子混合理想气体.由个A原子和个B原子组成的单原子分子混合理想气体，其能量的经典表达式为  （1）式中，和分别为A原子和B原子的质量. 体系的配分函数为

答案:  (2)

14、 第 3 题 第 2 步进而，有

答案:  (3)

15、 第 3 题 第 3 步配分函数是两组元的配分函数之积. 对式（3）取对数，有  (4)可见，配分函数的对数是两组元的配分函数对数之和. 故混合理想气体的压强为

答案:  (5)

16、 第 3 题 第 4 步 内能为

答案:  (6)

17、 第 3 题 第 5 步 熵为

答案:    (7)

18、 第三章 第 4 题 一个处于热平衡的系统，能量为E，能量平均值为，试求能量涨落与系统定容热容量的关系.解第 4 题 第 1 步 设体系能级的简并度为，体系的配分函数则为

答案:  (1)

19、 第 4 题 第 2 步式中，β=1/kT. 体系能量E的平均值为

答案:  (2)

20、 第 4 题 第 3 步体系的能量E的平方平均值为

答案:   (3)

21、 第 4 题 第 4 步体系的内能为.定容热容量，或者. 这样，就可以得到

答案:  (4)无论粒子间是否有相互作用，以上各式均成立.

第三章 封闭系 第三章 封闭系 测试(2)

1、 第三章 第 6 题 设一维线性谐振子能量的经典表达式为  试计算经典近似的振动配分函数Z、内能和熵．解第 6 题 第 1 步 本题可通过正则分布或麦-玻分布来获得系统的配分函数Z ，从而得到内能和熵．解决此类问题的关键是得到系统的配分函数，我们将以正则分布为例来给出此题的解题过程． 正则分布给出“封闭系”微观状态按能量分布的规律，即  （1）式中，为玻尔兹曼因子，系统的配分函数为  （2） 在经典极限下，系统微观状态为连续分布，我们可以利用相空间来描述系统的力学运动状态，很容易由式（l）和式（2）两式描述的正则分布给出其经典极限形式：系统处于相体积dΩ内的概率为

答案:  （3）

2、 第 6 题 第 2 步系统的配分函数则为

答案:  （4）

3、 第 6 题 第 3 步这里，由于计算的是振动配分函数，所以不必考虑粒子置换带来的影响（粒子的全同性），式中的积分是对整个振动相空间进行的． 设和分别为第i个谐振子的坐标和动量，由式（4）可得系统的振动配分函数

答案:  (5)

4、 第 6 题 第 4 步进一步计算得

答案:  (6)

5、 第 6 题 第 5 步可通过正则分布的热力学公式分别得到系统的内能和熵．系统的内能

答案:  (7)

6、 第 6 题 第 6 步系统的熵

答案:  (8)

7、 第三章 第 8 题 气体的体积为V，温度为T，由N个可区分的零静止质量粒子构成，粒子的能量ε和动量p有关系ε=cp，式中，c为光速，在p~p+dp内，单粒子状态的数目为, 试求该气体的物态方程和内能.解第 8 题 第 1 步 本题可由多种解法求解．这里首先得到系统的配分函数，然后利用正则分布的热力学公式得到所需结果． 设，和分别为第i个粒子的能量、坐标和动量，由题意知，气体的能量为 （1） 题中所涉及系统为纯经典的极端相对论理想气体，体系的分布满足经典极限

答案:  （2）

8、 第 8 题 第 2 步则系统的配分函数为

答案:  (3)

9、 第 8 题 第 3 步将式(1)代入式(3)，并利用公式计算可得

答案:  (4) 

10、 第 8 题 第 4 步 通过正则分布的热力学公式可以得到体系的物态方程和内能．体系的压强为

答案:  (5)

11、 第 8 题 第 5 步式（5）即为体系的物态方程．同样，也可得到体系的内能

答案:  (6)

12、 第三章 第 11 题晶体由 N 个原子组成，如图3-2所示.当原子离开正常位置而占据图中的格点间隙位置时，晶体中就出现空位和填隙原子.晶体的这种缺陷称为弗仑克尔(Frenkel)缺陷.假设正常位置和填隙位置数均为N，在晶体中形成n个空位和填隙原子，（1）求出熵S； （2）设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u，求当n<解第 11 题 第 1 步 因为正常位置和填隙位置数均为N，当出现n个缺陷时，由于缺陷位置的不同，可有个微观状态.同样，由于填隙位置的不同，也可有个微观状态.因此，当固体中出现n个缺位和n个填隙原子时，可能的微观状态数为

答案:  (1)

13、 第 11 题 第 2 步形成弗仑克尔缺陷导致的熵为

答案:  (2)

14、 第 11 题 第 3 步 若以u表示原子处在填隙位置与正常位置的能量差，形成n个缺陷和填隙原子后，固体内能的增加为. 自由能的改变为

答案:   (3)

15、 第 11 题 第 4 步式(3)中用到了斯特林公式.假设形成缺陷后固体的体积不变，温度为T时平衡态的自由能为极小，即，因此

答案:  (4)

16、 第 11 题 第 5 步则

答案:  (5)

17、 第 11 题 第 6 步由于n<<n，式（5）可近似为 =”” a:<img=”” src=”http://img-ph-mirror.nosdn.127.net/Bw6EujE1timx-qCS9V4OhA==/6631553749844172597.png”> (6)
B: (6)
C: (6)
D: (6)
答案:  (6)</n，式（5）可近似为>

第三章 封闭系 第三章 封闭系 测试(3)

1、 第三章 第 12 题 N个自旋1/2的粒子排成一条直线，仅最近邻粒子间有相互作用．当两近邻自旋取向相同（都向上或都向下）时，两者相互作用能为ε；取向相反时，相互作用能为ε．试求此系统在温度为T时的配分函数.解第 12 题 第 1 步 这是铁磁体的一维伊辛模型，N个自旋有N-1个相互作用对.令为平行自旋对的个数， 为反平行自旋对的个数，则.对一给定构形，其能量为

答案:  

2、 第 12 题 第 2 步这个体系的配分函数为

答案:

3、 第 12 题 第 3 步求解得

答案:

4、 第三章 第 13 题 设一固体由N个自旋为1的无相互作用核组成，每个核均可处在量子数为m=0，±1三态中的任一态．若核在m=0态的能量为0，在m=±1态的能量为ε．试由配分函数导出系统的熵和内能． 解第 13 题 第 1 步 体系的配分函数为

答案:

5、 第 13 题 第 2 步系统的自由能为

答案:

6、 第 13 题 第 3 步系统的熵为

答案:

7、 第 13 题 第 4 步系统的内能为

答案:

8、 第三章 第 14 题 由单原子分子组成的顺磁气体，单位体积的分子数为 . 当温度不太高时，可看作每个原子都处于基态，其固有磁矩μ与外磁场H 只有平行和反平行两种取向.气体服从麦-玻分布.试计算： (1) 分子处于μ与外磁场 H平行的概率ρ↑↑； (2) 分子处于μ与外磁场H反平行的概率ρ↑↓； (3) 分子平均磁矩； (4) 写出气体的磁化强度，并讨论在和两种极限下的结果. 解第 14 题 第 1 步 每个分子与外磁场的相互作用能为  则分子的配分函数为

答案:

9、 第 14 题 第 2 步 (1) 处于μ与外磁场H平行的概率为

答案:

10、 第 14 题 第 3 步 (2) 处于μ与外磁场H反平行的概率为

答案:

11、 第 14 题 第 4 步(3) 分子的平均磁距为

答案:

12、 第 14 题 第 5 步 (4) 磁化强度为

答案:

13、 第 14 题 第 6 步 令，在高温极限下有，则，则可得通常的居里定律:

答案:

14、 第 14 题 第 7 步 在低温极限下有，则，所以

答案:

15、 第三章 第 15 题 系统由N 个线性谐振子组成，导出能量等于和大于给定能量的振子数．解第 15 题 第 1 步 对于由近独立粒子组成的系统，粒子按状态的分布被称为麦克斯韦-玻尔兹曼分布．根据该分布，系统处于第j 个单粒子状态的平均粒子数为 ，  （1）式中，z称为粒子的配分函数，满足  （2）式（l）还可以写成按能级分布的形式．若能级的简并度为1 ，则处于该能级的平均粒子数为

答案:  (3)

16、 第 15 题 第 2 步由此可知，系统中能量等于和大于谐振子能量  （4）的振子数为  （5）将式（3）和（4）代入式（5）得

答案:  (6)

17、 第 15 题 第 3 步容易看到，式（6）的求和部分为无穷等比递缩数列求和. 利用已有的求和公式，并将式（2）代入，则系统中能量等于和大于的振子数为

答案:  (7)

第四章 均匀物质的热力学关系 第四章 均匀物质的热力学关系 测试(1)

1、 第四章 第 2 题　　 试用　来表示解第 2 题 第 1 步 由定容热容量和定压热容量的定义

答案:

2、 第 2 题 第 2 步和

答案:

3、 第 2 题 第 3 步利用链式关系和复合求导的方法，有

答案:

4、 第 2 题 第 4 步即

答案:

5、 第四章 第 5 题 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其绝对温度，试求：在温度保持不变时，该气体的熵随体积的变化关系.解第 5 题 第 1 步 气体的压强可表示为式中是体积V的函数．由自由能的热力学基本微分方程

答案:

6、 第 5 题 第 2 步得麦氏关系

答案:

7、 第 5 题 第 3 步因此，有

答案:

8、 第 5 题 第 4 步由于故有

答案:

9、 第四章 第 7 题 实验发现，一气体的压强p与比容v的乘积及内能E仅为温度T的函数，即讨论该气体的物态方程可能具有的形式.解第 7 题 第 1 步 根据题意，气体具有性质和取体积为v的气体，从热力学基本微分方程

答案:

10、 第 7 题 第 2 步出发，有

答案:

11、 第 7 题 第 3 步以T，v为独立变量时内能的完整微分为 比较式（1）和式（2），得

答案:

12、 第 7 题 第 4 步根据题意，内能仅为温度的函数，另外，结合关系式可得

答案:

13、 第 7 题 第 5 步即物态方程具有如下的形式，式中C为常数，可通过实验来确定.

答案:

14、 第四章 第 8 题 已知范德瓦耳斯气体的物态方程为 式中，a和b为常数，求内能和熵作为温度和体积的函数.解 第 8 题 第 1 步 本题选在第4章可以通过热力学性质求解，也可在学习后面章节后，采用求解非理想气体配分函数的方法来求解，结果相同.这里则采用前一种方法求解. 由于已知物态方程，若以T，V为独立变量时，先求内能比较方便. 先以T，V为独立变量时，计算内能的微分改变量. 已知均匀定质量系统的热力学基本微分方程为

答案:

15、 第 8 题 第 2 步这里已假定系统的做功仅与体积变化有关．可将独立变量换为T和V．将S的完整微分代入式（1），得

答案:

16、 第 8 题 第 3 步而以T，V为独立变量时，内能的完整微分是比较式（2）与式（3），可得

答案:

17、 第 8 题 第 4 步式中，CV为定容热容量．同时，有

答案:

18、 第 8 题 第 5 步于是，可得内能为

答案:

19、 第 8 题 第 6 步式中，E0为内能常数．式 （3）中微分的第一项系数CV仅为温度的函数，可由实验测得；第二项可由物态方程给出，将范德瓦耳斯气体的物态方程变形为 将式（4）代入式（3），得到内能

答案:

20、 第 8 题 第 7 步再来考虑熵．由热力学基本微分式（1），有 将dE代入上式并积分，结合物态方程可得熵 (式中，S0为熵常数)

答案:

21、 第四章 第 12 题 一弹簧在恒温下的恢复力X与其伸长x成正比，即X = -Ax． 今忽略弹簧的热膨胀，试求出弹簧的自由能F、熵S和内能E的表达式.解 第 12 题 第 1 步 在准静态过程中，当弹簧的长度发生dx的改变时，外力所作的功为 仿均匀定质量系统的热力学基本微分方程 当不考虑弹簧的体积变化时，可得其热力学基本微分方程 由自由能的定义  若以T，x为独立变量，考虑式（1）及胡克定律X = -Ax，则自由能的全微分方程为

答案:

22、 第 12 题 第 2 步另外，还可将F(T, x)的全微分表示成 比较式（2）与式（3），可得

答案:

23、 第 12 题 第 3 步在固定温度时，对式（4）积分，得 （式中， F(T, 0)是温度为T，伸长为零时弹簧的自由能）

答案:

24、 第 12 题 第 4 步 弹簧的熵

答案:

25、 第 12 题 第 5 步 弹簧的内能

答案:

第四章 均匀物质的热力学关系 第四章 均匀物质的热力学关系 测试(2)

1、 第四章 第13题 具有遵从胡克定律发生拉伸形变的弹性杆，其弹性系数为A(T)．试计算杆的Cp-Cx，式中，Cp和Cx分别为杆在应力恒定和长度恒定时的热容量 解第 13 题，第 1 步弹性杆的熵为

答案:

2、 第 13 题，第 2 步由热容量的定义可得Cp-Cx为

答案:

3、 第 13 题，第 3 步计算得

答案:

4、 第四章 第14题 证明熵S(p, H)和物态方程V(T, p)是否为特性函数？解第 14 题，第 1 步 马休(Massieu)于1869年给出特性函数的定义：对于均匀系统，如果独立变量选择得当，只要有一个热力学函数就可通过偏导数运算求得系统其他的热力学函数，这个热力学函数称为特性函数． 根据这一定义，先考虑以p，H为独立变量时，熵S．从热力学基本公式出发，对于定质量均匀系统，焓的微分方程为

答案:

5、 第 14 题，第 2 步显然有

答案:

6、 第 14 题，第 3 步和

答案:

7、 第 14 题，第 4 步将式（2）代入式（3），则有

答案:

8、 第 14 题，第 5 步式（2）和式（4）给出温度和体积的表达式T=T(p, H)和V=V(p, H)．由两式消去H，则得到物态方程 而另一个基本热力学函数内能为

答案:

9、 第 14 题，第 6 步由上述三个基本热力学函数：物态方程、内能和熵，可进一步由微分运算得到其他热力学函数．例如，自由能

答案:

10、 第 14 题，第 7 步吉布斯函数 ( ) 综上所述，如能获得熵作为压强和焓的函数之具体形式，便可通过偏导数运算简单地求出其他热力学函数．故可得出结论：熵S(p,H)是特性函数．

答案:

11、 第 14 题，第 8 步 再来考虑物态方程  当独立变量为T，p时，欲求其他热力学函数，先求吉布斯函数最为方便，其热力学微分方程为 ( ) 由该方程可知，当独立变量为T，p时，若V已知，即使在熵函数已知的情况下，也需通过积分得到吉布斯函数，进而得到其余的热力学函数，不能直接由V对T和p的偏倒数及代数运算关系直接得到其他热力学函数．所以，物态方程V(T，p)不是特性函数.

答案:

12、 第四章 第16题 一系统的定容热容量CV和压强p可写为如下形式： 式中，α和β均为常数，试求系统的吉布斯函数G．解第 16 题，第 1 步 由积分可得系统的内能为

答案:

13、 第 16 题，第 2 步由

答案:

14、 第 16 题，第 3 步将及E(T，V)代入式(1)，得

答案:

15、 第 16 题，第 4 步比较式(2)等号两边，可得

答案:

16、 第 16 题，第 5 步因此，f=C，C为常数．当T→0，V→0时，E→0，得C=0.对热力学基本方程

答案:

17、 第 16 题，第 6 步积分，得 (式中，已取当T→0，V→0时，S0=0)

答案:

18、 第 16 题，第 7 步 吉布斯函数

答案:

19、 第 16 题，第 8 步把求得的E，p和S代入吉布斯函数，得

答案:

20、 第四章 第17题 一根均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2，计算在达到均匀温度1/2(T1+T2)后熵的增加.解第 17 题，第 1 步 以L表示杆的长度，由题意可知，温度梯度为 （设 ）将杆分为长度为dl的许多小段，则从l到l+dl小段的初温为 这一小段由初温T变到终温1/2(T1+T2)，其熵的增加值为（式中，cp为均匀杆单位长度的定压热容量）

答案:

21、 第 17 题，第 2 步根据熵的可加性，整个均匀杆熵的增加值为

答案:

22、 第 17 题，第 3 步计算得 （式中，Cp=cpL为杆的定压热容量）

答案:

23、 第四章 第18题 已知顺磁物质的内能仅为温度的函数，磁化强度m满足居里定律．若维持温度不变，使磁场强度由0增至H, 试求该顺磁物质的磁化热．解第 18 题，第 1 步 在可逆等温过程中，磁介质的熵随磁场的变化率为

答案:

24、 第 18 题，第 2 步如果磁介质遵从居里定律  (C是常数),则

答案:

25、 第 18 题，第 3 步所以

答案:

26、 第 18 题，第 4 步在可逆等温过程中，磁场由0增至H时，磁介质的熵变为

答案:

27、 第 18 题，第 5 步吸收的热量为

答案:

第五章 气体的性质 第五章 气体的性质 测试(1)

1、 第五章 第2题 表面活性物质的分子在液面上做二维自由运动，可以看作二维理想气体.试写出在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布，并求出平均速率，最概然速率和方均根速率解第 2 题，第 1 步一般的理想气体均可视为经典气体.根据题意，可用麦-玻分布的经典近似公式讨论二维理想气体.麦-玻分布已给出气体分子按能量的分布.当忽略分子的内部运动时，分子的能量则为质心的平动能.现在应用麦-玻分布研究二维理想气体分子分布，导出麦克斯韦速度分布和速率分布.根据麦-玻分布，四维μ空间体积元内的平均粒子数为

答案:

2、 第 2 题，第 2 步将体积元换为

答案:

3、 第 2 题，第 3 步二维理想气体分子动能可写为 将上式代入麦-玻分布，将对的求和变为积分，代入动量与速度的关系p=mv，可得在面积S内、速度范围内的平均分子数为

答案:

4、 第 2 题，第 4 步（1）式中，参数α可由分子总数为N的条件确定之.这就是二维理想气体的麦克斯韦速度分布律.对, 积分，并计算得

答案:

5、 第 2 题，第 5 步将它代入式（1），可得在单位面积内、速度范围内的平均分子数为 （）式中，n为气体的面密度.该式也称为麦克斯韦速度分布律.

答案:

6、 第 2 题，第 6 步气体为各向同性体系，即得单位面积上速率在dv范围内的平均分子数为

答案:

7、 第 2 题，第 7 步平均速率为

答案:

8、 第 2 题，第 8 步由速率平方的平均值得方均根速率为

答案:

9、 第 2 题，第 9 步可由条件 确定最概然速率，则有

答案:

10、 第五章 第3题 根据麦克斯韦速度分布律求出速率和动能的涨落.解第 3 题，第 1 步麦克斯韦速度分布为 若采用球坐标系，可知一个分子处于v~v+dv速率间隔内的概率密度为

答案:

11、 第 3 题，第 2 步根据涨落的定义，速率的绝对涨落为 因为

答案:

12、 第 3 题，第 3 步解得

答案:

13、 第 3 题，第 4 步又有

答案:

14、 第 3 题，第 5 步解得

答案:

15、 第 3 题，第 6 步将式(2)和式(3)代入式(1)，可得速率的绝对涨落

答案:

16、 第 3 题，第 7 步动能ε的绝对涨落为将式中的能量化为速度，仿照上面的计算，得气体分子动能的涨落

答案:

17、 第五章 第4题 气柱的高度为H，截面为S，处在重力场中.试求此气柱的平均势能和热容量.解第 4 题，第 1 步 设气体是单原子分子理想气体.取水平方向为x-y平面，竖直方向为z，地表定为坐标原点，则在重力场中，处于高度为z的分子的能量为 得粒子的配分函数为

答案:

18、 第 4 题，第 2 步解得 （）式中，S=∫dxdy为气柱的截面积.

答案:

19、 第 4 题，第 3 步气柱的内能为

答案:

20、 第 4 题，第 4 步气体的热容量为

答案:

21、 第 4 题，第 5 步 上述结果也适用于双（多）原子分子气体. 当时，而有

答案:

22、 第 4 题，第 6 步当时，有

答案:

23、 第五章 第5题 对于双原子分子，常温下kT远大于转动能级间距，试求双原子分子理想气体的转动熵.解第5题 第1步 若粒子相邻能级之间的能量差较热运动能的典型值kT小得多，则可认为能级是准连续的，这种体系可采用经典统计理论.根据题意，经典近似下，转动配分函数为

答案:

24、 第 5 题，第 2 步转动能量为 将式(2)代入式(1)，则有

答案:

25、 第 5 题，第 3 步解得

答案:

26、 第 5 题，第 4 步根据麦-玻分布，定义系统熵的普遍表达式

答案:

27、 第 5 题，第 5 步 将转动配分函数代入上式，则双原子分子理想气体的转动熵为

答案:

28、 第五章 第7题 被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体.不考虑分子间的相互作用，由正则分布导出该气体的物态方程解第 7 题，第 1 步 根据题意，此系统可视为二维理想气体. 为了导出气体的物态方程，首先需要计算系统的配分函数，这是解决此类问题的基本步骤.根据正则系综理论，若气体分子的能级是“准连续”的，则体系的配分函数为 ( ) (式中，r为分子自由度)

答案:

29、 第 7 题，第 2 步设气体由N个分子组成，如果不考虑分子间相互作用，体系的总能量应写为 式中，K和分别为质心平动和内部运动能量，用rI表示一个分子的内部自由度，可得系统的配分函数

答案:  

30、 第 7 题，第 3 步解得

答案:

31、 第 7 题，第 4 步求得二维气体的配分函数后，根据基本热力学公式，可以得到内能、压强(物态方程)、熵等基本热力学函数.本题要求导出二维气体的物态方程，则根据压强公式可得 （） 由结果可知，在不考虑分子间相互作用的时候，气体物态方程与二维单原子分子理想气体物态方程相同，即分子内部运动对物态方程没有贡献，物态方程仅与分子质心的平动有关

答案:

32、 第五章 第10题 遵循经典统计的N个粒子组成的理想气体系统，粒子能量为ε = cp.在不考虑粒子内部结构时，求理想气体的热力学函数E，H，Cp和Cv.解第 10 题，第 1 步根据题意，粒子能量满足ε = cp关系，属于极端相对论性粒子，且本题不考虑粒子的内部结构，可将体系视为最简单的单原子分子理想气体.首先写出系统能量，其次求出系统配分函数，最后利用基本热力学公式，通过偏导数求出内能、物态方程和熵三个最基本的热力学函数，进而得到其他热力学函数.设单粒子的配分函数为z，系统配分函数为Z，压强为p，熵为S，内能为E，定压热容量为Cp，定容热容量为Cv，c为光速.由于系统遵循经典统计，状态可以连续变化，单粒子的配分函数公式

答案:

33、 第 10 题，第 2 步利用在极端相对论下的粒子的能量与动量的关系ε = cp，可简化单粒子配分函数为

答案:

34、 第 10 题，第 3 步系统的内能为

答案:

35、 第 10 题，第 4 步 为了求系统的焓，首先求解系统的压强. 根据压强公式容易得到

答案:

36、 第 10 题，第 5 步系统的焓为

答案:

37、 第 10 题，第 6 步 系统的定容热容量为

答案:

38、 第 10 题，第 7 步系统的定压热容量为

答案:

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5、 第11题 第5步 当则有

答案:

6、 第六章 第14题一理想溶液中有两种组元，其摩尔分数分别为和，已知一组元的化学势为 试根据吉布斯关系求另一组元的化学势.解第14题 第1步 本题为二元系化学反应平衡问题.我们先来回顾k元系情形，将描述体系的独立变数选为T，p和 (i=1, 2, …, k)等k+2个强度量，假定的增量为，则吉布斯函数热力学基本微分式为

答案:  (1)

7、 第14题 第2步式中，为第i组元的偏摩尔吉布斯函数，满足  (2)因为它与组元之间的化学反应平衡性质密切相关，故也称其为化学势. 吉布斯函数又可写为 对上式两端微分，有 将其代入式（1），可得到吉布斯关系

答案:  (3)

8、 第14题 第3步式中，和分别为两组元的物质的量. 另外，摩尔分数和分别满足  (4)  (5)  (6)当温度和压强不变时，吉布斯关系化为

答案:  (7)

9、 第14题 第4步题中已知组元一的化学势为 若视摩尔吉布斯函数为常数，对上式求微分，可得  （8）考虑到式（6），式（8）还可表为  （9）将式（9）代入式（7），得

答案:  （10）

10、 第14题 第5步对式（10）积分，得

答案:  （11）

11、 第14题 第6步下面，我们来确定常数C的物理意义.如果考虑组元二单独存在时，即X2=1，则组元二的化学势为 其物理意义相当于组元二为化学纯时的摩尔吉布斯函数. 由此可以看出，组元二的化学势也可表示为

答案:  

12、 第六章 第15题 mol的气体和mol的气体的混合物在温度T和压强p下所占的体积为，当发生化学反应，并在相同的温度和压强下达到平衡时，其体积为.试求反应度ξ .解第15题 第1步 在初始状态下混合理想气体的物态方程为

答案:  （1）

13、 第15题 第2步若以ξ表示发生化学变化达到平衡后的反应度，则达到平衡后总物质量为

答案:  （2）

14、 第15题 第3步 其物态方程为

答案:  （3）

15、 第15题 第4步式(1)、式(3)两式联立求解，有

答案:

16、 第六章 第16题试求：对化学反应 和其平衡恒量满足的关系式，设α为分解度．解第16题 第1步 本题讨论有化学反应的物体系之平衡性质. 首先需给出化学反应方程的普遍形式. 化学反应在热力学中惯用的书写原则是：在生成物前冠以正号，反应物前冠以负号，令其代数和为零.根据这一原则，化学反应的普遍形式则为  （1）式中，代表第i种组元的名称，为其参加反应的物质的量.根据质量作用律的定义  （2）平衡恒量K是T和p的函数，在温度和压强不变的条件下，它是常数. 还可定义定压平衡恒量，满足  （3）K和还满足关系

答案:  （4）

17、 第16题 第2步式中则定压平衡常量满足

答案:  （5）

18、 第16题 第3步对于分解为和这一反应，若将化学反应方程写作  （6）则有 根据式（5），则为

答案:  （7）

19、 第16题 第4步设原有的量为，若反应达到平衡后分解度为α，则

答案:  （8）

20、 第16题 第5步将式（8）代入式（7），即得平衡常量为

答案:  （9）

21、 第16题 第6步如果将化学反应方程写作 仿照前式，可知 根据式（5），平衡常量则为

答案:  （10）

22、 第16题 第7步将式（8）代入式（10），有

答案:  （11）

第七章 量子统计法 第七章 量子统计法 测试（1）

1、 第七章 第3题 试求爱因斯坦固体的熵.解第3题 第1步 爱因斯坦在解决低温极限下固体热容量时，提出一个简单的模型即为爱因斯坦固体，他将固体的N个离子实简化为3N个频率均为的独立谐振子，谐振子配分函数为

答案:  ， n = 0, 1, 2,…. （1） 

2、 第3题 第2步因此，爱因斯坦固体的熵为

答案:  （2）

3、 第七章 第4题 随着超大规模集成电路和半导体光电器件技术的发展，一维固体 (很多平行的原子长链，链之间作用很弱) 和二维固体 (很多平行的原子平面，平面之间作用很弱) 的物理性质备受关注. 试证明：在低温极限下，它们的热容分别与T,成正比.证第4题 第1步 将长度为L的一维原子链视为可传播纵波和横波的连续弹性链. 由周期性边界条件可知，在k～k + dk波矢范围内，可能的波矢数为. 若以和分别表示纵波和横波的传播速度，则二者的角频率ω与波矢大小分别满足和. 因此，在ω～ω + dω的角频率范围内，链的简正波动数为

答案:  （1）

4、 第4题 第2步这里，已考虑到对一定的频率ω，波动可以有正反两个传播方向；对一定的波矢k，横波可以有两种振动方式. 假设原子链含有N个原子，原子链将有3N个自由度. 若以表示一维晶格的徳拜频率，则有

答案:  （2）

5、 第4题 第3步解得 原子链的内能为

答案:  （3）

6、 第4题 第4步 在的低温极限下，内能可近似为

答案:  （4）

7、 第4题 第5步式中为不依赖于温度的常数.热容量为

答案:  （5）

8、 第4题 第6步同理，对面积为的二维固体，由周期性边界条件可知，在波矢范围内，可能的波矢数为. 若用k空间的平面极坐标表示，则在k～k + dk波矢范围内，可能的波矢数为. 因此，在ω～ω + dω的角频率范围内，二维固体的简正波动数为

答案:  （6）

9、 第4题 第7步以表示二维晶格的徳拜频率，则有  （7）解得 二维固体的内能为

答案:  （8）

10、 第4题 第8步 在的低温极限下，内能可近似为

答案:  （9）

11、 第4题 第9步式中为不依赖于温度的常数. 热容量为

答案:  （10）

12、 第七章 第5题 (1) 试求光子气体的压强随内能的变化关系，设E是光子气体的内能，V是体积； (2) 利用热力学基本定律和上述关系，推导光子气能量对温度的依赖关系.解 第5题 第1步 首先回顾光子气体的一些基本特征：(1) 光子之间无相互作用. 光子组成的系统——光子气为近独立粒子系，是理想气体.(2) 光子没有经典粒子与之对应，光子气是典型的量子简并气体.(3) 光子的静止质量为零，频率为ν的光子的能量为ε = hν，动量为p = hν/c (c为光速).(4) 光子是自旋为1的玻色子，不受泡利不相容原理的约束. 由于电磁波只有两个偏振方向，即自由度为2，对应的光子只有两个自旋态，自旋投影取零的态是非物理态.(5) 光子数不守恒，则光子气的化学势μ = 0.① 考虑到光子动量态的简并度为2(两个偏振方向)，根据光子能量与动量的关系ε = pc，可得在体积V内、ε ~ ε + dε范围内的光子态数为

答案:  （1）

13、 第5题 第2步光子系的巨配分函数的对数为

答案:  （2）

14、 第5题 第3步将求和变为积分，进一步，可得式(2)的详细结果为，

答案:  （3）

15、 第5题 第4步其中积分I为与β，V无关的常数. 下面，我们仅由式(2)给出的结论和巨配分函数的热力学公式，可得内能为

答案:  （4）

16、 第5题 第5步相应的压强为

答案:  （5）

17、 第5题 第6步② 为了由式(5)得到光子气体能量对温度的依赖关系，不妨假定光子气的能量满足  （6）式中，u(T)为能量(内能)密度. 根据基本热力学公式，

答案:  （7）

18、 第5题 第7步将式(5)和式(6)代入式(7)，得

答案:  （8）

19、 第5题 第8步由式(8)积分，可得

答案:  （9）

20、 第七章 第6题 根据热力学公式及，求光子气体的熵.解第6题 第1步 根据黑体辐射的普朗克公式或直接由巨配分函数计算，可得光子气体的内能

答案:  （1）

21、 第6题 第2步由此，得其定容热容量为

答案:  （2）

22、 第6题 第3步根据热力学关于均匀物质熵的积分表达式，有

答案:  （3）

23、 第6题 第4步式(3)中的积分可沿任意一条路径进行. 若取积分路径为由(0, V)到(T, V)的直线，且取积分常量为零，则得光子气体的熵

答案:  （4）

第七章 量子统计法 第七章 量子统计法 测试（2）

1、 第七章 第7题 考虑体积V内，温度为T的光子气. 已知光子静质量为零，即ε = cp. (1) 光子气化学势是多少？ (2) 确定光子数对温度的依赖关系； (3) 能量密度可写为，试确定能量谱密度ρ(ω)；解第7题 第1步(1) 光子气化学势为零. 这是由于在给定温度和体积时，光子数不守恒，则没有由光子数恒定而引入的待定参数α，而α = -βμ. 由α = 0，得  （1）(2) 在动量p～p + dp范围内，可能的微观状态数为，由，得到在频率ω～ω + dω范围内的状态数为. 光子气体满足玻色分布，总光子数对温度的依赖关系为

答案:  （2）

2、 第7题 第2步式中，.(3) 光子数的能量密度为

答案:  （3）

3、 第7题 第3步因此，能量谱密度是

答案:  （4）

4、 第七章 第8题 试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率及与费米能量间的关系.解第8题 第1步 电子的自旋为1/2，由其组成的电子气是最典型的费米子系统，遵循费米-狄拉克统计. 电子的能量与速率间的关系为. 首先考虑态密度，若引入态密度g(v)，其意义为单位速率间隔内的状态数，则在体积V内，速率处于v ~ v + dv内电子态的数目为g(v)dv. 显然有

答案:  （1）

5、 第8题 第2步费米函数定义为

答案:   （2）

6、 第8题 第3步式中，为化学势或费米能量，且满足，为费米速率(度). 在绝对零度时，费米函数简化为能量的阶跃函数. 根据题意，还可将费米函数进一步简化为速率的阶跃函数  （3）在绝对零度时，可以通过下式得到总电子数：

答案:  （4）

7、 第8题 第4步费米速率则可表示为

答案:  （5）

8、 第8题 第5步电子的平均速度为

答案:  （6）

9、 第8题 第6步利用式(5)和式(6)，可得到电子的平均速率

答案:  （7）

10、 第8题 第7步将速率与能量之间的关系代入式(6)，容易得到电子平均速率与费米能量的关系

答案:  （8）

11、 第七章 第9题 在极端相对论情形下，电子能量与动量的关系为ε = cp，式中，c为光速. 试求自由电子气体在0K时的费米能量、内能和简并压.解第9题 第1步 在体积V内，在ε～ε + dε的能量范围内，极端相对论电子的量子态数为

答案:  （1）

12、 第9题 第2步0K时，自由电子气体的分布为  （2）式中，费米能量由下式确定：

答案:  （3）

13、 第9题 第3步解得  （4）0K下电子气体的内能为

答案:  （5）

14、 第9题 第4步根据习题3.12的结果，可得极端相对论电子气的压强为

答案:  （6）

15、 第七章 第10题根据热力学公式及低温下的表达式，试求金属中自由电子气的熵.解第10题 第1步 在低温下，金属中自由电子气的定容热容量可表示为

答案:  （1）

16、 第10题 第2步式中，为T = 0时的化学势. 对于均匀系统，以T，V为独立变量时，熵的积分表达式为

答案:  （2）

17、 第10题 第3步若取积分路径为从(0, V)至(T, V)的直线，且取积分常量为零，则有

答案:  （3）

第七章 量子统计法 第七章 量子统计法 测试（3）

1、 第七章 第11题证明温度在T = 0K时，电子气体每秒钟碰撞单位面积器壁上的次数为，式中，n是电子的数密度，是0K时电子的平均速率.证第11题 第1步 由上题可知，温度在T = 0K时，电子的速率分布函数可表示为  （1）式中，为在0K时电子的最大速率，即为费米速率. 在μ空间内，可得在单位体积中，速度间隔dvdθdφ内的状态数为

答案:  （2）

2、 第11题 第2步单位时间内上述速度间隔的电子碰到法线沿z轴的单位面积器壁上的碰撞数为

答案:  （3）

3、 第11题 第3步对式(3)积分，可以得到0K时电子气的碰撞次数为

答案:  （4）

4、 第11题 第4步另外，可以通过对式(2)的积分，得到单位体积内的电子

答案:  （5）

5、 第11题 第5步所以

答案:  （6）

6、 第11题 第6步已知自由电子气中电子的平均速率，则可得

答案:  （7）

7、 第七章 第13题假定N个电子组成的体系服从费米分布，在T→0时态密度可写为 (1) 试求T→0时的化学势和总能量；(2) 求证系统的非简并条件为；(3) 在强简并理想费米气体中有 证明系统强简并时与T成正比.解第13题 第1步 (1) 设T→0时的化学势为，则T→0时的能级全部被电子所占，即n(ε) = 1. 因此，电子总数为  （1）所以，T→0时的化学势为  （2）T→0时的总能量为

答案:  （3）

8、 第13题 第2步(2) 化学势由下式给出：

答案:  （4）

9、 第13题 第3步若满足非简并性条件，则  （5）因而，非简并性条件可改写为  （6） (3) 系统强简并时，，系统的内能为

答案:  （7）

10、 第13题 第4步因为，热容量则为

答案:  （8）

11、 第七章 第15题试证明：一维和二维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象.证第15题 第1步 对于一维理想玻色气体，态密度为

答案:  （1）

12、 第15题 第2步则粒子数为

答案:  （2）

13、 第15题 第3步临界温度由下式确定：

答案:  （3）

14、 第15题 第4步令，则  （4）因此，一维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象. 对于二维理想玻色气体，态密度为

答案:  （5）

15、 第15题 第5步粒子数为

答案: 同理得二维理想玻色气体也不存在玻色凝聚现象.

16、 第七章 第16题铁磁体中的自旋波也是一种准粒子，遵从玻色分布，色散关系是. 试证明：在低温下，这种准粒子的激发所导致的热容与成正比.证第16题 第1步 在体积V中，k～k + dk波矢范围内，准粒子的状态数为

答案:  （1）

17、 第16题 第2步根据色散关系，可得在体积V中，ω～ω + dω频率范围内，准粒子的状态数为，式中，. 已知准粒子遵从玻色分布，则在温度为T的热平衡状态下，在体积V中，ω～ω + dω频率范围内的准粒子数为

答案:  （2）

18、 第16题 第3步内能为

答案:  （3）

19、 第16题 第4步准粒子气体对内能的总贡献则为

答案:  （4）即得所证结论.

第八章 涨落理论 第八章 涨落理论 测试

1、 第八章 第1题由斯莫鲁霍夫斯基公式导出 解第1题 第1步 斯莫鲁霍夫斯基公式

答案:  （1）

2、 第1题 第2步给出了系统的压强、体积、熵和温度对其平均值有Δp，ΔV，ΔS和ΔT偏离的概率. 通常，定质量系统只有两个独立变量，可取式(1)中的Δp和ΔS为自变量，将ΔV和ΔT展开，若只保留至Δp和ΔS的一级项，展开结果为

答案:  （2）

3、 第1题 第3步以及

答案:  （3）

4、 第1题 第4步由，式(3)可化为

答案:  （4）

5、 第1题 第5步将式(2)、(4)代入式(1)，得

答案:  （5）

6、 第1题 第6步再利用麦氏关系 可将式(5)化为下列形式，结合物体系的绝热压缩系数的定义，即 即可证明所求公式.

答案:  （6）

7、 第八章 第2题利用，和的结果，计算，和.解第2题 第1步由温度和体积偏差的概率分布

答案:  （1）

8、 第2题 第2步知  （2）以ΔT，ΔV为自变量，可将ΔS展开为

答案:  （3）

9、 第2题 第3步式(3)中用到了定容热容量的定义及麦氏关系. 以ΔT乘以式(3)，求平均，并利用式(2)，有

答案:  （4）

10、 第2题 第4步 同理，以ΔV乘以式(3)，求平均，并利用式(2)，有

答案:  （5）

11、 第2题 第5步以ΔT，ΔV为自变量，可将Δp展开为  （6）以 ΔV乘以式(6)，求平均，并利用式(2)，有

答案:  （7）

12、 第八章 第3题试证明：开放系涨落的准热力学公式为 在T，V恒定时计算，.证第3题 第1步 考虑系统和源构成一个孤立的复合系统，则涨落状态出现的概率应与其相应的热力学概率成正比，即  （1）由于熵为广延量而具有可加性，则复合系统熵的偏离是系统的熵偏离和源的熵偏离之和.开放系的热力学基本方程给出 . （2）复合系统是孤立系，必有  （3）  （4）  （5）所以

答案:  （6）

13、 第3题 第2步式中，T，p，μ分别是源的温度、压强和化学势，平衡时，即为系统的温度、压强和化学势. 由此可得概率关系为

答案:  （7）

14、 第3题 第3步将E看作S，V和N的函数，在其平均值附近展开，并准确到二级，有  （8）平衡时，有

答案:  （9）

15、 第3题 第4步  （10）  （11）所以  （12）代入概率表达式，得

答案:  （13）

16、 第3题 第5步以T，V，N为自变量，当T，V不变时，有. 代入式(13)，得T，V不变时，粒子数具有偏离ΔN的概率为

答案:  （14）

17、 第3题 第6步将此式与高斯分布的标准形式比较，得

答案:  （15）

18、 第3题 第7步以T，V，μ为独立变量，当T，V不变时，有  （16）代入概率关系得T，V不变时，化学势具有偏离Δμ的概率为  （17）与高斯分布的标准形式比较，得

答案: （18）

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