高等数学(下）(合肥工业大学) 中国大学mooc慕课答案2024版 m259437

作业第二周 常微分方程（二）和向量代数与空间解析几何（一） 第七单作业元 常微分方程

1、 求微分方程的通解。
评分规则:  原方程可转化为齐次方程
作换元，令则代入上式并整理得，
分离变量得并积分得即
故原方程的通解为

2、 求微分方程的通解。
评分规则:  原方程可转化为为一阶线性非齐次微分方程，
由常数变易法公式可得原方程通解为
整理得到原方程通解为

3、 若连续函数满足求函数
评分规则:  对方程两边求导，可将积分方程转化为微分方程，满足初始条件
可得通解为代入初始条件得特解

4、 求微分方程的通解。
评分规则:  该方程为二阶常系数线性非齐次微分方程，可先求对应齐次方程的通解
对应的特征方程为特征值为
所以
再求原非齐次方程的特解由于不是特征值，故设特解形式为
将 代入原方程并整理可得，比较同次幂系数相等，解得故 
于是，由二阶线性微分方程通解结构可得原方程通解为

5、 求微分方程的通解。
评分规则:  该方程为不显含的可降阶方程，可作换元则
原方程化为即
当时，
当时，解得 即得

第二周 常微分方程（二）和向量代数与空间解析几何（一） 第七单元测试 常微分方程

1、 设则（     ）.

答案:

2、 设是微分方程的一个特解，且则在（     ）.

答案: 处取得极小值

3、 设可导，且则（     ）.

答案:

4、 微分方程的通解为（      ）.

答案:

5、 设连续函数满足方程则的表达式为（     ）.

答案:

6、 设是一阶线性非齐次微分方程的两个线性无关的特解，则该方程的通解为（     ）

答案:

7、 已知是微分方程的解，则的表达式为（     ）

答案:

8、 微分方程的特解形式可设为（     ）.

答案:

9、 微分方程的特解形式为（     ）.

答案:

10、 设有二阶非齐次线性微分方程函数是它的三个线性无关的特解，是任意常数，则该微分方程通解为（     ）.

答案:

11、 微分方程的特解形式为（     ）.

答案:

12、 具有特解的三阶常系数齐次线性微分方程是（     ）.

答案:

13、 在下列微分方程中，以为任意常数）为通解的是（     ）.

答案:

14、 函数满足的一个微分方程是（     ）.

答案:

15、 微分方程的特解形式为（     ）.

答案:

16、 微分方程的特解形式可设为（     ）.

答案:

17、 微分方程的特解形式为（     ）.

答案:

18、 已知且则等于（     ）.

答案:

19、 若连续函数满足关系式则等于（     ）.

答案:

20、 设连续函数满足则等于（     ）.

答案:

21、 设为微分方程满足初始条件的解，则 等于（     ）.

答案:

22、 设连续函数满足则等于（     ）.

答案:

23、 设是可微函数，且则（     ）.

答案:

24、 设是二阶常系数微分方程满足初始条件的特解，则当时，函数的极限是_______.
答案: 2

25、 设的特解形式为，则______.
答案: 4

作业第三周 向量代数与空间解析几何（二）和多元函数微分学（一） 第八单元作业 向量代数与空间解析几何

1、 已知两点和.（1）求向量的模；（2）求与向量平行的单位向量；（3）求向量的方向角.
评分规则:  （1），
（2）
（3）所以，，

2、 已知向量的两个方向余弦为且与轴的方向角为钝角，求
评分规则:  由于

又为钝角，所以

3、 已知且求
评分规则:  由于所以
得

4、 设求（1）及；（2）与夹角的余弦；（3）.
评分规则:  （1）;
（2）
（3）

5、 求以点为球心，且与平面相切的球面方程.
评分规则:  球心到平面的距离（即球的半径）
故所求球面的方程为：

6、 一平面过原点且平行于向量和求此平面方程.
评分规则:  取平面法向量：
又该平面过点，故所求平面方程为：

7、 已知曲线求此曲线分别绕轴、轴旋转而成的旋转曲面方程.
评分规则:  绕轴旋转而成的旋转曲面方程：即
绕轴旋转而成的旋转曲面方程：即

8、 一平面过两点和且垂直于平面求它的方程.
评分规则:  设所求平面的法向量为，平面的法向量，
取
所求平面的方程为即

9、 求过点且平行于直线的直线方程.
评分规则:  取直线的方向向量为
又该直线过点故所求直线方程为：

10、 一直线过点，与直线相交，且垂直于直线求直线的方程.
评分规则:  设所求直线与的交点为则则解得
所以直线的方向向量
故直线的方程为：即

11、 求两曲面和的交线在面的投影曲线的方程。
评分规则:  联立消去变量并化简得交线在面上的投影柱面：
则交线在面上的投影曲线：

第三周 向量代数与空间解析几何（二）和多元函数微分学（一） 第八单元测试 向量代数与空间解析几何

1、 设则以向量为边的平行四边形的对角线的长度为（     ）

答案:

2、 平面与的夹角余弦为（     ）

答案:

3、 一向量的终点在点B(2,-1,7)，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4，-4, 7，则该向量的起点A的坐标为（     ）

答案: （-2,3,0）

4、 直线与平面的位置关系是（     ）

答案: 与斜交

5、 过直线且垂直于平面的平面方程是（     ）

答案:

6、 设有直线及平面则直线（     ）

答案: 垂直于

7、 设有直线与则与的夹角余弦是（     ）

答案:

8、 过点（3,0，-1）且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（     ）

答案: 3x-7y+5z-4=0

9、 过点且与连接坐标原点及点的线段垂直的平面方程是（      ）

答案: 2x+9y-6z-121=0

10、 过以下三点(1,1,-1)、(-2,-2,2)、(1,-1,2)的平面方程是（     ）

答案: x-3y-2z=0

11、 平面2x-2y+z+5=0与xOy面的夹角余弦是（     ）

答案:

12、 一平面过点(1,0,-1)且平行于向量和，则该平面方程为（     ）

答案: x+y-3z-4=0

13、 三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=3的交点坐标是（     ）

答案: (1,-1,3)

14、 平行于x 轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程为（     ）

答案: 9y-z-2=0

15、 曲线是旋转曲面与平面的交线则经过曲线，母线平行于轴的柱面方程是（     ）

答案:

16、 设向量则向量在轴上的投影为______.
答案: 13

17、 设向量和则____.
答案: 2

18、 设且则_____.
答案: 3

19、 直线与直线的夹角余弦为____.
答案: 0

20、 直线与平面的夹角余弦为_____.
答案: 1

作业第六周 多元函数微分学（四）和重积分（一） 第九单元作业 多元函数微分学

1、 证明：极限不存在.
评分规则:  因为
，
所以不存在。

2、 设函数二阶可导，具有二阶连续偏导数，求
评分规则:  

3、 设函数可微分，求由方程确定的函数的全微分
评分规则:  对两边微分得：
整理即得：
所以.

4、 求函数在闭区域上的最大值和最小值.
评分规则:  （1）在D的内部，令，得到驻点，
（2）在D的边界上，由得代入得此时得到可能最值点，
比较的函数值，由连续函数在闭区域上最值存在性定理知，函数在D上的最大值为最小值为

5、 求曲线在点处的切线与法平面.
评分规则:  点对应于 所以切线的方向向量为，也可取为
故切线方程为或者
法平面方程为或者，即

6、   求椭球面在点处的切平面方程.
评分规则:  令则得切平面的法向量为
则椭球面在点处的切平面方程为：即

第六周 多元函数微分学（四）和重积分（一） 第九单元测试 多元函数微分学

1、 极限（     ） .

答案:

2、 极限（     ）.

答案: 不存在

3、 极限（     ）.

答案: 不存在

4、 设函数，则在点关于叙述正确的是（     ）.

答案: 不连续但偏导存在

5、 设存在，则下列不正确的是（     ）.

答案: 在处连续

6、 设则（     ）.

答案:

7、 设函数由方程所确定，则（     ）.

答案:

8、 设函数则（     ）.

答案:

9、 设函数，则在原点处（     ）.

答案: 偏导数不连续但可微

10、 二元函数的两个偏导数在点处都连续是在点处可微分的（     ）.

答案: 充分条件

11、 下列关于在点的性质说法正确的是（      ）.

答案: 在处连续，则在点可微；

12、 已知且，则在点处（     ）.

答案: 连续，偏导数存在，且可微

13、 设函数其中函数可微，则（     ）.

答案:

14、 设与均为可微函数，且已知是在约束条件下的一个极值点，如果，则必有（    ）.

答案:

15、 已知且在面上有点和向量，则方向导数=（     ）.

答案:

16、 设函数则（     ）.

答案:

17、 下列关于在点的性质说法正确的是（     ）.

答案: 偏导数连续，则沿任意方向方向导数存在；

18、 函数在点处的梯度等于（     ）.

答案:

19、 设在点某领域内有定义，且则下列结论正确的是（     ）.

答案: 在处的梯度为

20、 函数在点处沿任意方向的方向导数中的最大值是（     ）.

答案:

21、 函数在闭区域上的最大值和最小值分别是（     ）.

答案:

22、 函数在椭圆域上的最大值和最小值分别是（     ）.

答案:

23、 二重极限存在，则二次极限或存在。

答案: 错误

24、 二次极限或存在，则二重极限存在。

答案: 错误

25、 已知函数，则都存在。

答案: 错误

26、 设函数，则点是极小值点。

答案: 正确

27、 极限（     ）.
答案: 0

28、 极限（     ）.
答案: 0

29、 设函数则偏导数（     ）.
答案: 1

30、 函数在点处沿方向角为的方向的方向导数为（     ）.
答案: 5

第八周 重积分（三）和曲线积分（一） 第十章单元测试 重积分

1、 若区域为则（      ）.

答案:

2、 设区域为则二重积分（      ）.

答案:

3、 设是由所确定的闭区域，则三重积分（      ）.

答案:

4、 设有空间闭区域则下列成立的是（      ）.

答案:

5、 设为球体在上连续，则（      ）.

答案: 0

6、 设则下列成立的是（      ）.

答案:

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