数字信号处理(北京交通大学) 中国大学MOOC作业答案

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作业第一章 离散信号与系统分析 第一章单元作业

1、 离散信号的时域分析计算下面序列和的卷积：(1)   ，  (2)   
评分规则:  解：(1) 和为有限长序列，可以利用列表法计算，(4分)(2) 根据卷积的定义，利用解析法计算，(4分)

2、 离散信号的频域分析已知有限长序列，不计算的频谱，直接确定下列表达式的值。(1)  (2)(3)   (4)
评分规则:  解：由DTFT的定义，可得(1)  (2分)(2)(2分)(3)(2分)(4)(2分)

3、 离散信号的频域分析已知有限序列的频谱为，对在一个周期内进行点抽样得到离散频谱，即，若取值如下，试确定离散频谱所对应的时域序列，取。(1)   (2)
评分规则:  解：由频域抽样定理可知，序列可表示为(4分)(1)由于有限长序列的长度为4，在范围内可表示为(2分)(2)由于有限长序列的长度为7，在范围内可表示为(2分)

4、 离散系统的频域分析已知描述某因果稳定的离散LTI系统的差分方程为,求该系统的频率响应及单位脉冲响应。
评分规则:  解：对方程两边进行DTFT，可得(1分)  系统的频率响应为(3分)将展开为(1分)对其进行DITFT,可得系统的单位脉冲响应为 (3分)

5、 离散系统的复频域分析已知某离散时间LTI系统的系统函数为（1）试确定该系统为因果系统时的收敛域，并求出对应的。（2）试确定该系统为稳定系统时的收敛域，并求出对应的。
评分规则:  解：（1）为使系统因果，的ROC为圆外区域，即（2分）所以(2分)
（2）为使系统稳定，的ROC必须包含单位圆，即 （2分）所以(2分)

6、 全通滤波器与最小相位系统离散稳定因果系统可分解为最小相位系统和全通系统的级联，即，若某离散稳定因果系统的系统函数,试确定和。
评分规则:  解：(2分)(2分)或(2分)

7、 信号时域抽样与重建已知,连续时间信号的频谱为，如题11图所示，离散序列的频谱为。(1) 试写出和的关系；(2) 若抽样角频率时，试画出抽样后离散序列的频谱。(3) 若抽样角频率，抽样后所得离散序列能否恢复连续时间信号，说明原因。
评分规则:  解：(1),其中：为抽样间隔，为抽样角频率。连续信号和抽样后信号频谱的关系为：(3分)(2)（4分）或者
（3）由离散序列可以恢复连续时间信号，因为仍完整地保留了原连续时间信号的频谱信息。（2分）

8、 离散信号的频域分析
已知有限长序列，不计算的频谱，直接确定下列表达式的值。
(1)  (2)
(3)   (4)
评分规则:  解：由DTFT的定义，可得(1)  (2分)(2)(2分)(3)(2分)(4)(2分)

9、 离散信号的频域分析
已知有限序列的频谱为，对在一个周期内进行点抽样得到离散频谱，即，若取值如下，试确定离散频谱所对应的时域序列，取。
(1)   (2)
评分规则:  解：由频域抽样定理可知，序列可表示为(4分)(1)由于有限长序列的长度为4，在范围内可表示为(2分)(2)由于有限长序列的长度为7，在范围内可表示为(2分)

10、 离散系统的频域分析
已知描述某因果稳定的离散LTI系统的差分方程为,
求该系统的频率响应及单位脉冲响应。

评分规则:  解：对方程两边进行DTFT，可得(1分)  系统的频率响应为(3分)将展开为(1分)对其进行DITFT,可得系统的单位脉冲响应为 (3分)

11、 全通滤波器与最小相位系统
离散稳定因果系统可分解为最小相位系统和全通系统的级联，即
，若某离散稳定因果系统的系统函数
,试确定和。
评分规则:  解：(2分)(2分)或(2分)

12、 信号时域抽样与重建
已知,连续时间信号的频谱为，如题11图所示，离散序列的频谱为。

(1) 试写出和的关系；
(2) 若抽样角频率时，试画出抽样后离散序列的频谱。
(3) 若抽样角频率，抽样后所得离散序列能否恢复连续时间信号，说明原因。

评分规则:  解：(1),其中：为抽样间隔，为抽样角频率。连续信号和抽样后信号频谱的关系为：(3分)(2)（4分）或者
（3）由离散序列可以恢复连续时间信号，因为仍完整地保留了原连续时间信号的频谱信息。（2分）

作业第二章 离散傅里叶变换（DFT） 第二章单元作业

1、 DFT定义及性质已知一9点实序列在5个点上的DFT值为，试确定其他4个点的DFT值。
评分规则:  解：根据实序列DFT的对称特性，可得;（2.5分）;（2.5分）
;（2.5分）（2.5分）

2、 DFT计算线性卷积和是如下给定的有限序列，(1) 计算和的线性卷积；(2) 计算和的6点循环卷积；(3) 计算和的7点循环卷积；(4) 计算和的8点循环卷积；(5) 比较以上结果，有何结论？
评分规则:  解：(1) （3分）    (2) （3分）   
(3) （3分）    (4)（3分）(5) 序列的循环卷积与序列的线性卷积存在内在联系，在一定条件下，可以利用序列的循环卷积计算序列的线性卷积。（3分）

3、 DFT计算线性卷积给出利用DFT计算长序列和长序列线性卷积的步骤框图。
评分规则:  解：

4、 DFT分析信号频谱已知一实信号,该信号的最高频率为, 用对进行抽样。如对抽样信号做1024点的DFT，试确定中和点所分别对应的原连续信号的连续频谱点和。
评分规则:  解：对连续信号以进行抽样，得到离散序列，由于满足时域抽样定理，抽样过程没有出现混迭。在利用序列的DFT 分析连续信号的频谱时，从可以获得的对应点频率。当时，由于，故有
当时，由于，故可得

5、 DFT分析信号频谱试利用DFT分析某连续信号，已知其最高频率为，信号的频谱分辨率不少于，谱线的间隔为。DFT的点数必须为2的整数次幂，确定以下参数：（1）抽样间隔（2）抽样时间 (3 )抽样点数 (4) DFT点数。
评分规则:  解：,,(1)    最大的抽样间隔为（5分）
(2) 最短的抽样时间为（5分）
(3)最少的抽样点数为（5分） (4)最少的DFT点数为（5分）

6、 DFT定义及性质
已知一9点实序列在5个点上的DFT值为，试确定其他4个点的DFT值。
评分规则:  解：根据实序列DFT的对称特性，可得;（2.5分）;（2.5分）
;（2.5分）（2.5分）

7、 DFT计算线性卷积
和是如下给定的有限序列，

(1) 计算和的线性卷积；
(2) 计算和的6点循环卷积；
(3) 计算和的7点循环卷积；
(4) 计算和的8点循环卷积；
(5) 比较以上结果，有何结论？

评分规则:  解：(1) （3分）    (2) （3分）   
(3) （3分）    (4)（3分）(5) 序列的循环卷积与序列的线性卷积存在内在联系，在一定条件下，可以利用序列的循环卷积计算序列的线性卷积。（3分）

8、 DFT计算线性卷积
给出利用DFT计算长序列和长序列线性卷积的步骤框图。

评分规则:  解：

9、 DFT分析信号频谱
已知一实信号,该信号的最高频率为, 用对进行抽样。如对抽样信号做1024点的DFT，试确定中和点所分别对应的原连续信号的连续频谱点和。

评分规则:  解：对连续信号以进行抽样，得到离散序列，由于满足时域抽样定理，抽样过程没有出现混迭。在利用序列的DFT 分析连续信号的频谱时，从可以获得的对应点频率。当时，由于，故有
当时，由于，故可得

10、 DFT分析信号频谱
试利用DFT分析某连续信号，已知其最高频率为，信号的频谱分辨率不少于，谱线的间隔为。DFT的点数必须为2的整数次幂，确定以下参数：（1）抽样间隔（2）抽样时间 (3 )抽样点数 (4) DFT点数。
评分规则:  解：,,(1)    最大的抽样间隔为（5分）
(2) 最短的抽样时间为（5分）
(3)最少的抽样点数为（5分） (4)最少的DFT点数为（5分）

作业第三章 离散傅里叶变换快速算法（FFT） 第三章单元作业

1、 基2时间抽取FFT算法(1) 画出基2时间抽取的FFT流图，并利用该流图计算序列的DFT。(2) 画出基2时间抽取的FFT流图，并利用该流图计算序列的DFT。(3) 画出基2时间抽取的FFT流图，并利用该流图计算序列的DFT。(4) 比较(1)(2)(3)的计算结果，有何结论？
评分规则:  解：(1) （10分）计算序列的基2时间抽取的FFT流图如下：所以序列的DFT。
(2)计算序列的基2时间抽取的FFT流图如下：所以序列的DFT。
(3) 计算序列的基2时间抽取的FFT流图如下：所以序列的DFT。
(4)在序列后面补零不改变信号的频谱，但可以从其DFT中获得在上更多的样点频率信息。在序列之间插零，将改变信号的频谱，相当于序列的时域扩展，其对应频谱为原来频谱的压缩。（5分）
因此上述序列的DFT之间存在下列关系（5分）

2、 基2频率抽取FFT算法画出基2频率抽取的FFT流图，并利用该流图计算序列的DFT。
评分规则:  解：计算序列的基2频率间抽取的FFT流图如下：所以序列x[k]的DFT。

3、 IDFT的快速计算方法——利用复序列FFT算法计算IFFT已知某4点序列的DFT为}，(1)写出利用FFT计算的IDFT 的步骤；(2)利用4点FFT流图计算由计算。
评分规则:  解：(1)利用FFT计算的IDFT 的步骤如下图：（5分）
(2)利用4点FFT流图计算由计算首先利用FFT计算的DFT（2分）
得到。（5分）（3分）

4、 基2时间抽取FFT算法
(1) 画出基2时间抽取的FFT流图，并利用该流图计算序列的DFT。
(2) 画出基2时间抽取的FFT流图，并利用该流图计算序列的DFT。
(3) 画出基2时间抽取的FFT流图，并利用该流图计算序列的DFT。
(4) 比较(1)(2)(3)的计算结果，有何结论？

评分规则:  解：(1) （10分）计算序列的基2时间抽取的FFT流图如下：所以序列的DFT。
(2)计算序列的基2时间抽取的FFT流图如下：所以序列的DFT。
(3) 计算序列的基2时间抽取的FFT流图如下：所以序列的DFT。
(4)在序列后面补零不改变信号的频谱，但可以从其DFT中获得在上更多的样点频率信息。在序列之间插零，将改变信号的频谱，相当于序列的时域扩展，其对应频谱为原来频谱的压缩。（5分）
因此上述序列的DFT之间存在下列关系（5分）

5、 基2频率抽取FFT算法
画出基2频率抽取的FFT流图，并利用该流图计算序列的DFT。

评分规则:  解：计算序列的基2频率间抽取的FFT流图如下：所以序列x[k]的DFT。

6、 IDFT的快速计算方法——利用复序列FFT算法计算IFFT
已知某4点序列的DFT为}，
(1)写出利用FFT计算的IDFT 的步骤；
(2)利用4点FFT流图计算由计算。
评分规则:  解：(1)利用FFT计算的IDFT 的步骤如下图：（5分）
(2)利用4点FFT流图计算由计算首先利用FFT计算的DFT（2分）
得到。（5分）（3分）

作业第四章 IIR数字滤波器设计 第四章单元作业

1、 模拟低通滤波器设计简述BW型、CB型和椭圆型滤波器的频域特性。
评分规则:  解：BW型滤波器的频域特性：a），；b）幅度响应单调下降；c）在点到阶导数为零，称为最大平坦性。
CB型滤波器的频域特性：（I型）通带等波纹波动，阻带单调下降；（II型）阻带等波纹波动，通带单调下降。（4分）椭圆型滤波器的频域特性：通阻带均等波纹波动（4分）

2、 双线性变换法利用双线性变换法设计满足下列指标的Butterworth型数字带阻滤波器,,,,,
评分规则:  解：取双线性变换的参数(1)由获得模拟带阻滤波器的频率指标为,,,（2分）(2)由模拟带阻滤波器的上下截频确定低通到带阻变换式中的参数（2分）
(3)确定模拟低通滤波器的通带截频,选取
(4)设计满足指标,,、的Butterworth型模拟低通滤波器。（2分）
取  （1分）由阶数和截频可得Butterworth型模拟低通滤波器为（1分）
(5)由复频率变换可得模拟带阻滤波器（3分）(6)由双线性变换可得数字带阻滤波器（3分）

3、 简述脉冲响应不变法和双线性变换法的优缺点。
评分规则:  解：脉冲响应不变法：优点，频率变换是线性关系，缺点，转换后频谱容易混叠，不适合设计高通带阻等滤波器。（5分）双线性变换法：优点，转换后频谱不发生混叠。缺点，频率变换为非线性，幅度响应非常数，则产生畸变。（5分）

4、 IIR数字滤波器设计某信号，其中是频率范围在的有用信号， 是频率范围在的噪声信号。若按抽样频率对信号进行抽样，得到离散信号。设计能滤除中噪声信号的数字滤波器，要求：(1) 试确定数字滤波器的类型（低通、高通、带通、带阻）和设计指标。(2) 若利用IIR数字滤波器去噪，试写出主要的设计步骤和关键公式。
评分规则:  解：(1) 高通数字滤波器（1分）可取左右，可取左右（2分）

(2)主要设计步骤：IIR高通数字滤波器设计。由于脉冲响应不变法存在频率混叠，不适合设计高通滤波器，故本题采用双线性变换法。（2分)
由确定数字高通滤波器频率指标①将数字高通滤波器指标转换成模拟高通滤波器指标，；（2分）
②利用模拟频率变换将模拟高通滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标；（2分）③设计模拟低通滤波器，可选择BW型、CB型和椭圆型；（2分）
④利用模拟复频率变换将模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器；（2分）⑤利用双线性变换法将模拟高通滤波器转换成数字高通滤波器，。（2分）

5、 模拟低通滤波器设计
简述BW型、CB型和椭圆型滤波器的频域特性。
评分规则:  解：BW型滤波器的频域特性：a），；b）幅度响应单调下降；c）在点到阶导数为零，称为最大平坦性。
CB型滤波器的频域特性：（I型）通带等波纹波动，阻带单调下降；（II型）阻带等波纹波动，通带单调下降。（4分）椭圆型滤波器的频域特性：通阻带均等波纹波动（4分）

6、 双线性变换法
利用双线性变换法设计满足下列指标的Butterworth型数字带阻滤波器
,,,,,
评分规则:  解：取双线性变换的参数(1)由获得模拟带阻滤波器的频率指标为,,,（2分）(2)由模拟带阻滤波器的上下截频确定低通到带阻变换式中的参数（2分）
(3)确定模拟低通滤波器的通带截频,选取
(4)设计满足指标,,、的Butterworth型模拟低通滤波器。（2分）
取  （1分）由阶数和截频可得Butterworth型模拟低通滤波器为（1分）
(5)由复频率变换可得模拟带阻滤波器（3分）(6)由双线性变换可得数字带阻滤波器（3分）

7、 IIR数字滤波器设计
某信号，其中是频率范围在的有用信号， 是频率范围在的噪声信号。若按抽样频率对信号进行抽样，得到离散信号。设计能滤除中噪声信号的数字滤波器，要求：
(1) 试确定数字滤波器的类型（低通、高通、带通、带阻）和设计指标。
(2) 若利用IIR数字滤波器去噪，试写出主要的设计步骤和关键公式。
评分规则:  解：(1) 高通数字滤波器（1分）可取左右，可取左右（2分）

(2)主要设计步骤：IIR高通数字滤波器设计。由于脉冲响应不变法存在频率混叠，不适合设计高通滤波器，故本题采用双线性变换法。（2分)
由确定数字高通滤波器频率指标①将数字高通滤波器指标转换成模拟高通滤波器指标，；（2分）
②利用模拟频率变换将模拟高通滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标；（2分）③设计模拟低通滤波器，可选择BW型、CB型和椭圆型；（2分）
④利用模拟复频率变换将模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器；（2分）⑤利用双线性变换法将模拟高通滤波器转换成数字高通滤波器，。（2分）

作业第五章 FIR数字滤波器设计 第五章单元作业

1、 线性相位FIR滤波器的特性已知某离散LTI系统的单位脉冲响应（1）判断该系统是否为线性相位系统，若不是说明原因，若是，该系统是几型线性相位系统；（2）求出该系统的幅度函数和相位响应，它们分别有什么特点。（3）列举线性相位系统不适用的滤波器类型。
评分规则:  解：（1）因为满足线性相位的充要条件：,因此此系统为线性相位系统。根据其数据特点，符合I型线性相位
（2）      因此        幅度函数关于和偶对称的，相位响应是线性的。
（3）II型不能用在高通和带阻。III型不能用于低通，高通和带阻。IV型不能用于低通。

2、 窗函数法设计FIR滤波器利用窗函数法设计满足下列指标的I型线性相位FIR低通滤波器。,,,
评分规则:  解：选取理想低通滤波器的截频为（2分）理想低通滤波器的单位脉冲响应为则（4分）
由表可知用Hann窗可使滤波器满足指标。
由过渡带宽度得滤波器长度需满足(3分)由于要求用I型滤波器，取N=33。
用长度N=33的Hann窗截断即得所要求的FIR低通滤波器的为,是长度的矩形窗。（4分）

3、 线性相位FIR滤波器的优化设计优化设计的基本思想是什么？试列出常用的误差准则的名称和基本形式。
评分规则:  解：优化设计就是在一定的误差准则下，使得所设计的FIR滤波器的幅度函数与理想滤波器的幅度函数误差最小。
常用的误差准则有：最大最小误差准则(minimax criterion)或Chebyshev误差准则: 1)加权积分平方误差准则  2)
加权离散平方误差定义为  3)其中是个选定的频率取样点，为加权函数。

4、 线性相位FIR滤波器的特性
已知某离散LTI系统的单位脉冲响应
（1）判断该系统是否为线性相位系统，若不是说明原因，若是，该系统是几型线性相位系统；
（2）求出该系统的幅度函数和相位响应，它们分别有什么特点。
（3）列举线性相位系统不适用的滤波器类型。
评分规则:  解：（1）因为满足线性相位的充要条件：,因此此系统为线性相位系统。根据其数据特点，符合I型线性相位
（2）      因此        幅度函数关于和偶对称的，相位响应是线性的。
（3）II型不能用在高通和带阻。III型不能用于低通，高通和带阻。IV型不能用于低通。

5、 窗函数法设计FIR滤波器
利用窗函数法设计满足下列指标的I型线性相位FIR低通滤波器。,,,

评分规则:  解：选取理想低通滤波器的截频为（2分）理想低通滤波器的单位脉冲响应为则（4分）
由表可知用Hann窗可使滤波器满足指标。
由过渡带宽度得滤波器长度需满足(3分)由于要求用I型滤波器，取N=33。
用长度N=33的Hann窗截断即得所要求的FIR低通滤波器的为,是长度的矩形窗。（4分）

6、
线性相位FIR滤波器的优化设计
优化设计的基本思想是什么？试列出常用的误差准则的名称和基本形式。

评分规则:  解：优化设计就是在一定的误差准则下，使得所设计的FIR滤波器的幅度函数与理想滤波器的幅度函数误差最小。
常用的误差准则有：最大最小误差准则(minimax criterion)或Chebyshev误差准则: 1)加权积分平方误差准则  2)
加权离散平方误差定义为  3)其中是个选定的频率取样点，为加权函数。

作业第六章 数字滤波器的实现 第六章单元作业

1、 IIR滤波器的基本结构已知某数字系统的系统函数为，试画出其级联型结构。
评分规则:  解：两个极点是共轭极点，首先将两个共轭极点的一阶子系统组成实系数的二阶系统。（5分）所以： (5分) (5分)

2、 IIR滤波器的基本结构简述IIR滤波器直接型、级联型以及并联型结构的特点。
评分规则:  解：直接型结构：优点：简单直观缺点：改变某一个将影响所有的极点，改变某一个将影响所有的零点，对有限字长效应很敏感，容易出现不稳定现象对于三阶以上的IIR滤波器，一般不采用直接型结构，而采用级联型、并联型等其他形式的结构。
级联型结构：（5分）每个基本节系数变化只影响该子系统的零极点，对系数变化的敏感度小，受有限字长的影响比直接型低。并联型结构：（5分）运算速度快，处理延时短，各基本节的误差互不影响，每个基本节系数变化只影响该子系统的零极点。

3、 FIR滤波器的基本结构已知某6阶线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响应，试画出该FIR数字滤波器的线性相位直接型结构。
评分规则:  解：该FIR数字滤波器的线性相位直接型结构如下：

4、 FIR滤波器的基本结构求出图1中各系统的单位脉冲响应。
评分规则:  解：图(a)系统的单位脉冲响应为:,（5分）图(b)系统的单位脉冲响应为：（10分）

5、 IIR滤波器的基本结构
已知某数字系统的系统函数为
，试画出其级联型结构。
评分规则:  解：两个极点是共轭极点，首先将两个共轭极点的一阶子系统组成实系数的二阶系统。（5分）所以： (5分) (5分)

6、 IIR滤波器的基本结构
简述IIR滤波器直接型、级联型以及并联型结构的特点。

评分规则:  解：直接型结构：优点：简单直观缺点：改变某一个将影响所有的极点，改变某一个将影响所有的零点，对有限字长效应很敏感，容易出现不稳定现象对于三阶以上的IIR滤波器，一般不采用直接型结构，而采用级联型、并联型等其他形式的结构。
级联型结构：（5分）每个基本节系数变化只影响该子系统的零极点，对系数变化的敏感度小，受有限字长的影响比直接型低。并联型结构：（5分）运算速度快，处理延时短，各基本节的误差互不影响，每个基本节系数变化只影响该子系统的零极点。

7、 FIR滤波器的基本结构
已知某6阶线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响应，试画出该FIR数字滤波器的线性相位直接型结构。

评分规则:  解：该FIR数字滤波器的线性相位直接型结构如下：

8、 FIR滤波器的基本结构
求出图1中各系统的单位脉冲响应。

评分规则:  解：图(a)系统的单位脉冲响应为:,（5分）图(b)系统的单位脉冲响应为：（10分）

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